Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

Алан-э-Дейл       20.08.2022 г.

Две сетки плоских прямоугольных координат на топографических картах.

На некоторых топографических картах можно встретить две сетки плоских прямоугольных координат. Одна нанесена полностью так, как это было показано на рисунке выше. Вторая обозначена только за рамкой данной карты. В чем тут дело? Мы уже ранее установили, что вертикальные километровые линии параллельны осевому меридиану своей зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны.

Следовательно, при стыковке километровых сеток двух соседних зон линии одной из них располагаются под углом к линиям другой. Вследствие этого на стыке двух зон могут возникнуть затруднения вопределении координат, так как они будут относиться к разным осям координат.

Чтобы устранить это неудобство, в каждой шестиградусной зоне все листы карт, расположенные в пределах 2 градусов к востоку и 2 градусов к западу от границы зоны имеют помимо своей координатной сетки еще и дополнительную, являющуюся продолжением координатной сетки соседней зоны.

И для того чтобы не затемнять второй сеткой данные листы карты, ее обозначают лишь цифрами на внешней рамке листа. Цифры эти являются продолжением нумерации линий координатной сетки смежной зоны.

По материалам книги «Карта и компас мои друзья». Клименко А.И.

Километровая сетка. Вопрос №5 Координатная (километровая) сетка на картах

1. Определение географических и прямоугольных координат

Система координат представляет собой совокупность линий и плоскостей, ориентированных определенным образом в пространстве, относительно которых определяют положение точек (объектов, целей). Линии, принятые за начальные, служат осями координат

, а плоскости –координатными плоскостями . Угловые и линейные величины, которыми определяется в той или иной системе координат положение точек на линии, поверхности или в пространстве, называютсякоординатами .

В науке, технике, архитектуре, военном деле существуют различные системы координат. В каждом конкретном случае применяются системы координат, которые наилучшим образом отвечают требованиям к определению положения объектов.

Положение точек на поверхности Земли в зависимости от характера решаемых задач и требуемой точности чаще всего определяют в системах географических, плоских прямоугольных, полярных и биполярных координат. Пространственное положение точек в каждой системе координат дополнительно определяется высотой этих точек над уровенной поверхностью, принятой за начальную.

Указанные выше системы координат широко применяются в военной топографии. Они позволяют сравнительно просто и однозначно определять с необходимой точностью положения точек (объектов, целей) на земной поверхности по результатам измерений, выполненных непосредственно на местности или по карте.

Системой географических координат

называется система, в которой положение точки на земной поверхности определяется угловыми величинами (широтой и долготой) относительно плоскостей экватора и начального (нулевого) меридиана. В России и в большинстве других государств за начальный принят Гринвичский меридиан. Таким образом, система географических координат является единой для всей поверхности Земли. Она позволяет определять взаимное положение объектов, расположенных на значительных расстояниях друг от друга. В военном деле эта система используется преимущественно при применении боевых средств дальнего действия (баллистических ракет, авиации и др.). При решении тактических задач использование этой системы ограничено неудобствами работы с координатами, выраженными в градусах, минутах и секундах.

Географические координаты (широта и долгота)

точек на земной поверхности, определенные по результатам наблюдений небесных светил, называютсяастрономиическими координатами , а по результатам геодезических измерений на местности –геодезическими координатами . При определении астрономиических координат точка проектируется отвесной линией на поверхность геоида, а при определении геодезических координат – нормалью на поверхность земного эллипсоида. Вследствие неравномерного распределения массы Земли и отклонения поверхности геоида от поверхности земного эллипсоида отвесная линия в общем случае не совпадает с нормалью, что и показано на рисунке. Таким образом, географические координаты – обобщенное понятие об астрономических и геодезических координатах, когда уклонение отвесной линии не учитывается.

Астрономические координаты. Астрономической широтой

точки М называется уголф (фи), образованный отвесной линией в данной точке и плоскостью, перпендикулярной к оси вращения Земли.

Астрономической долготой

точки М называется двугранный угол (лямда) между плоскостями астрономического меридиана данной точки и начального (нулевого) астрономического меридиана. Астрономический меридиан точки представляет собой след сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через направление отвесной линии в этой точке параллельно оси вращения Земли.

Геодезические координаты.Геодезической широтой

точки А называется угол В, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора. Широта отсчитывается по меридиану в обе стороны от экватора и может принимать значения от 0 до 90°. Широты точек, расположенных к северу от экватора, называются северными (положительными), а к югу – южными (отрицательными).

Геодезической долготой

точки А называется двугранный угол L между плоскостями геодезического меридиана данной точки и начального (нулевого) геодезического меридиана. Плоскость геодезического меридиана проходит через нормаль к поверхности земного эллипсоида в данной точке параллельно его малой оси. Долготы точек отсчитываются от начального меридиана к востоку и западу и называются соответственно восточными и западными. Счет их ведется от 0 до 180° в каждую сторону.

LatLong.ru

Пересчет географических координат. Градусы -> градусы/минуты/секунды:

Пересчет географических координат. Градусы/минуты/секунды -> градусы: Определение высоты над уровнем моря по координатам: Форма поиска географических координат объекта на основе картографических сервисов Google или Yandex.

Примеры: Москва Новгородская обл., Бердск Санкт-Петербург, Дворцовая наб., 38 55.7522,37.6156 (широта,долгота)

Недавно искали: 37.578454,54.208375 (yandex) 55.7558N, 55.7558E (yandex) Долгота: 42.688296 Широта: 50.196248 (yandex) Широта 55.7558 Долгота 55.7558 (yandex) 54.853078, 38.534686 (yandex) 59.8944,30.2642 (yandex) поселок Ярославский Хорольский район (yandex) 53,191032, 45,065590 (yandex) Екатеринославка Октябрьский район Амурская область (yandex) Республика Башкортостан,Буздякский район, село Кузеево,ул.Ленина 37 (yandex)

N 55.7558° E 55.7558° Курск (yandex) г. Курск N 51.7403° E 36.1849° (yandex) N 58.545 E 31.2691 (yandex) N55.7558°E55.7558° (yandex) N 55.7558° (yandex) 43°58’42.70°N, 15°23’0°14E (yandex) Орел 52.976441, 36.090167 (yandex) красноярск 56.041760,93.004444 (yandex) 59.939095 30.315868 (yandex) E8.05282006 N45.56579763 (yandex)

55.7485,37.6184 (yandex) N45.051299, E35.355326 (yandex) 59 19 45 с.ш. 18 04 07 в.д (yandex) 48.447064,E44.417912 Волгоградская область, г.Волгоград, Светлоярский район (yandex) автодорога екатеринбург-н.тагил-серов 312 километр (yandex) 55° 45.2376′ 0» N,37° 37.2236′ 0» E (yandex) Широта 55,7386 Долгота 37,6068 (yandex) Москва Широта 55.7558 Долгота 37.6176 (yandex) 28 19 45 с.ш. 18 04 07 в.д (yandex) 41.303821,81.901693 (yandex)

Санкт-Петербург Ленинградская обл. Санкт-Петербург N 59.939° E 30.3158° (yandex) Москва, Московская область Широта N 55.7558° Долгота E 55.7558 (yandex) 35 27 25 N 136 44 11 E (yandex) 54 сш и 38 вд (yandex) Post-0421057.1 (yandex) N 45.0421° E 38.9806° (yandex) 59 с.ш 31 в.д (yandex) Республика Саха (Якутия), Алданский район,малый нимныр (yandex) 52 сш и 128 вд (yandex) N 56° 12.819 ‘ E 59° 20.061 ‘ (yandex)

34°57 ‘ ю.ш. 150°30 ‘ в.д. (yandex) 37.61556, 55.75222 (yandex) 55.75222,37.61556 (yandex) X 488209.26 Y 313590.09 (yandex) lat: 44.434914, lon: 26.106127 (yandex) 53,4220344,59,0158084 (yandex) 42° 22′ 08.2» N 59° 36’ 53.5» E (yandex) N 55.7965° E 49.1082° (yandex) Вологодская область ФАД М-8 483.2 (yandex) казань 55.768037,49.187889. (yandex)

37.6068, 55.7386 (yandex) 55.7386, 37.6068 (yandex) 60.380303 57.064995 (yandex) N59.602217,Е30.182382 (yandex) N 56.464°E 84.9625° (yandex) N55.580488 Е52.139665 (yandex) 462809 Оренбургская область, Новоорский район, с. Караганка, пр-т. Ленина, 5а. (yandex) Карагандинская область, Киевка, Нуринского района, Карагандинской области (yandex) 56.84897198026978 60.6005859375 (yandex) N53° E34° (yandex)

Широта 56.78415. Долгота 60.545466 (yandex) N55.589427 E51.760154 (yandex) N 054.6527 E 039.6935 (yandex) N054.6989 E 055.9476 (yandex) N 55.7558 E 55.7558 уфа (yandex) N 48°26’58,87696 E 135°5’40,26689 (yandex) Вологодская область ФАД А-119 10,6 (yandex) N 51.7682 E55.1037 (yandex) о. Замогой Россия (yandex) 67.771772,34.898058 (yandex)

55.016454 с.ш. 51.766519 в.д. (yandex) N56.959515 E60.625412 (yandex) 55.576276 38.117192 (yandex) N56.9924 E40.9678 (yandex) n 59.583180,Е30.179910 (yandex) 52.993745N,49.820908E (yandex) Белово, пос. Инской, Беловское водохранилище (yandex) Lat: 55.7522 N Lon: 37.6156 E (yandex) Широта 55.7482 Долгота 37.6177 (yandex) 43°35 24.0 N 39°44 48.0 E (yandex)

60.08064294 с.ш 31.10387955 в.д (yandex) 41 северной широты 74 западной долготы (yandex) Сочи 43.625107,39.719037 (yandex) 22.37,81.95 (yandex) 9 с.ш 80 з.д (yandex) с.Дубровное, Варгашинского района, Курганской области (yandex) 55°52’13.3 N 37°21’54.6 E (yandex) 56 с.ш 84в.д (yandex) N57.191803,E61.112085 (yandex) N054.6478 Е055.5337 (yandex)

54° 20′ 33.1» N 18° 39′ 44.8» E (yandex) екатеринбург от а д м-5 урал 169.100 км (yandex) 61,31 26.4, 105,19 08.4 заречный, свердловская область, (yandex) N44.946847,e34.049723 (yandex) 43.206893N 131.96708E (yandex) 37 с.ш 3 в.д (yandex) 53.319408 N,50.296916E (yandex) 61,524000, 105,3190000 заречный, свердловская область, (yandex) пулково (yandex) N 53.485787° E 50.015927° (yandex)

Определение географических координат объекта по карте.

GoogleYandex

Ссылка на это место:

Twittear

ВконтактеFacebook ()

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX{\displaystyle OX}, OY{\displaystyle OY} и OZ{\displaystyle OZ}. Оси координат пересекаются в точке O{\displaystyle O}, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. OX{\displaystyle OX} — ось абсцисс, OY{\displaystyle OY} — ось ординат, OZ{\displaystyle OZ} — ось аппликат.


Рис. 2

Положение точки A{\displaystyle A} в пространстве определяется тремя координатами x{\displaystyle x}, y{\displaystyle y} и z{\displaystyle z}. Координата x{\displaystyle x} равна длине отрезка OB{\displaystyle OB}, координата y{\displaystyle y} — длине отрезка OC{\displaystyle OC}, координата z{\displaystyle z} — длине отрезка OD{\displaystyle OD} в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{\displaystyle OB}, OC{\displaystyle OC} и OD{\displaystyle OD} определяются плоскостями, проведёнными из точки A{\displaystyle A} параллельно плоскостям YOZ{\displaystyle YOZ}, XOZ{\displaystyle XOZ} и XOY{\displaystyle XOY} соответственно.

Координата x{\displaystyle x} называется абсциссой точки A{\displaystyle A},
координата y{\displaystyle y} — ординатой точки A{\displaystyle A},
координата z{\displaystyle z} — аппликата точки A{\displaystyle A}.

Символически это записывают так:

A(x,y,z){\displaystyle A(x,\;y,\;z)}

или

A=(x,y,z){\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

xA,yA,zA{\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B{\displaystyle B} лежала не как на рисунке — на луче OX{\displaystyle OX}, а на его продолжении в обратную сторону от точки O{\displaystyle O} (на отрицательной части оси OX{\displaystyle OX}), то абсцисса x{\displaystyle x} точки A{\displaystyle A} была бы отрицательной (минус расстоянию OB{\displaystyle OB}). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX{\displaystyle OX} против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY{\displaystyle OY}, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ{\displaystyle OZ}).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

Размеры листов топографической карты и сторон квадратов сетки на топографических картах.

В таблице показаны также размеры отдельных наиболее часто используемых листов карты. Границами листов карты являются меридианы и параллели. Базовым листом карты является лист в масштабе 1:1 000 000 (миллионка), имеющий протяжение по широте в 4 градуса и долготе в 6 градусов. Карты более крупных масштабов образуются из «миллионки» соответствующей нарезкой (разграфкой). Для того чтобы можно было легко и быстро находить нужные листы карты, каждый из них имеет свое условное обозначение

Следует обратить внимание, что направление линий сетки не совпадает с направлениями север — юг и восток — запад, хотя и близко к ним. Наибольшие отклонения наблюдаются у границ зоны, где они достигают 3 градусов

Отклонение направления истинного меридиана от вертикальной линии координатной сетки получило название сближения меридианов (Сб). Величина сближения меридианов зависит от местоположения точки на карте.

Определение прямоугольных координат точки на топографической карте.

В качестве примера рассмотрим определение координат точки, заданной на карте масштаба 1:100 000. На рисунке ниже приведен участок карты, расположенной в 7-й зоне с долготами от 36 до 42 градусов. По вертикали сетки приведены координаты линий сетки в километрах, мелкими цифрами первые (старшие) разряды, крупными последние (младшие).

Причем, чтобы не загромождать карту, мелкие (старшие) цифры могут не повторяться каждый раз, так как они всюду одинаковы. По горизонтали — то же самое, только первая цифра 7 — это номер зоны. Рассматривая топографические карты, можно заметить, что координатных сеток на ней две. Первая — это стандартная с географическими координатами, указанными лишь по краю карты, а вторая сетка — километровая с шагом 2 см (2 км). Прикладывая линейку к ближайшим линиям сетки, определяем смещение (в мм) внутри квадрата и переводим их в расстояние согласно масштабу.

По оцифровке линий сетки определяем их координаты. Суммируя найденные значения, определяем координаты точки: X = 409 080 м, Y = 6 200 450 м (номер зоны не включен). Более удобно производить измерения специальной шкалой, имеющей вертикальную и горизонтальную оси, проградуированные в соответствии с масштабом карты. Для этого необходимо наложить шкалу на карту таким образом, чтобы перекрестье осей совпало с объектом на карте, а оси были направлены параллельно сетке карты. Тогда нужные смещения считываются с обеих шкал в точках пересечения с сеткой карты.

Подобные шкалы, отдельно или с компасом, выпускаются в США, но для нас они бесполезны, так как наши карты выпускаются в других масштабах. Но такую шкалу можно сделать самостоятельно. Для этого ее надо распечатать на прозрачной пленке на принтере и приклеить к планшету компаса. Предлагаемый вариант сделан для компаса серии «Азимут», это жидкостный компас с прямоугольным планшетом, в середине которого расположена большая лупа. Шкала приклеивается скотчем с обратной стороны планшета строго под лупой. Приклеивать надо аккуратно по всему периметру, чтобы туда не проникала вода. Предпочтительно использовать широкий прозрачный скотч, перекрывающий всю поверхность, в этом случае лучше распечатать шкалу в зеркальном отображении.

Что можно сделать с определенными таким образом координатами данной точки?

Если в вашем GPS-навигаторе записана карта, то полученные координаты можно ввести в прибор, обозначить точку и затем отправиться в путь. Если же необходимо на бумажной карте отметить точку по определенным навигатором координатам, то это будет задачей, противоположной уже рассмотренной. Она решается аналогичным образом, только в обратном порядке. По старшим цифрам (тысячи метров) находится квадрат, а по остатку — смещение внутри квадрата.

Плоские прямоугольные координаты, как определить плоские прямоугольные координаты по топографической карте.

Линию осевого меридиана считают осью абсцисс и обозначают х, линию экватора — осью ординат и обозначают у. За начало координат принимают точку пересечения осевого меридиана с экватором. Таким ебразом, в каждой зонеГаусса имеется своя сетка плоских прямоугольных координат. Координаты х (абсциссы) отсчитываются к северу и югу от экватора, то есть от 0 (на экваторе) до 10 000 км (на полюсе).

К северу от экватора координата у считается положительной, к югу — отрицательной. Координаты ху (ординаты) отсчитываются от осевого меридиана вправо (к востоку) и влево (к западу). Чтобы не иметь дела с отрицательными значениями для этих координат, условились значение ординаты у для осевого меридиана принимать равным 500 км.

Тем самым ось х как бы переносится к западу на 500 км и все значения ординат в пределах данной зоны будут иметь всегда положительный знак. Кроме того, к значению ординаты у спереди всегда приписывается цифра, соответствующая номеру зоны Гаусса для того, чтобы избежать повторения координат, расположенных в разных зонах.

Гранит и камень



Сеть координатных линий

 Одним из важных элементов географической карты является сеть координатных линий, полученная при проецировании картографической поверхности Земли на плоскость. При изготовлении карты, сетка служит опорой для построения картографической проекции. При пользовании картой она позволяет упростить определение координат точек земного эллипсоида, наносить на карту точки по их координатам, измерять направление линий относительно сторон света, вычислять масштабы и искажения в любом месте карты, производить другие необходимые подсчеты и исчисления. Иными словами, координатная сетка позволяет работать не с полным изображением карты, а с конкретным ее участком, при этом линии сетки являются опорными границами для проведения замеров и расчетов. Благодаря этому, существенно упрощается использование карт и планов на практике. К самым распространенным сеткам (а на мелкомасштабных картах — единственно употребляемым) относится картографическая — изображение сети меридианов и параллелей. Ценность картографической сетки обусловлена глубоким географическим смыслом меридианов и параллелей. Меридианы соответствуют направлению «север — юг», параллели — направлению «запад — восток». Этими направлениями, которые могут быть определены на местности при помощи буссолей и компаса, пользуются для ориентирования при практической работе с картой.

На мелкомасштабных картах картографическая сетка представляет средство для широкого географического ориентирования, основу для разнообразных обобщений и выводов, вытекающих из широтной зональности в размещении многих природных явлений. Наконец, разность долгот пунктов выражает разность их временных поясов, т.е. временную разность в отдельных точках Земли.



При всех достоинствах географических сеток им свойствен один недостаток. Практические задачи — нанесение на карту точек по их географическим координатам или определение координат точек по карте, решаются с относительной простотой только на картах в цилиндрических проекциях, у которых меридианы и параллели образуют две системы взаимно перпендикулярных параллельных линий. В других проекциях с более сложными по виду картографическими сетками для решения указанных задач приходится прибегать к вспомогательным графическим построениям и вычислениям, осложняющим работу и не всегда выполнимым в полевых условиях. Между тем при использовании топографических карт для точного указания положения пунктов, передачи по карте расстояний, быстрого расчета направлений и расстояний и т. п. необходимы простые действия, которые могут быть обеспечены сеткой прямоугольных координат. Последняя показывается на современных топографических картах дополнительно к картографической сетке, а на некоторых картах (например, английских и финских) — взамен ее. С этой целью на земном эллипсоиде выбирают две системы линий, которые в проекции топографической карты изображаются сеткой квадратов. В проекции Гаусса-Крюгера осями такой сетки служат изображаемые прямолинейно осевой меридиан зоны и экватор.

В картографических сетках счет параллелей всегда ведут от экватора, счет меридианов — от начального меридиана, за который по международному соглашению 1884 г. принимают меридиан Гринвича, где находится старейшая астрономическая обсерватория Англии.

Благодаря картографической сетке все искажения, как бы велики они ни были, сами по себе не влияют на точность определения по карте географического положения (координат) изображаемых на ней объектов. В то же время картографическая сетка, являясь графическим выражением проекции, позволяет при измерениях по карте учитывать характер, величину и распределение искажений. Поэтому любая географическая карта представляет собой математически определенное изображение земной поверхности.

* * *

План, карта, ситуация и профиль



  • Главная ООО «Гранит»
  • Щебень и автодороги
  • Фундаменты
  • Характеристики щебня
  • Классификация пород
  • Дробилки
  • Основы и история геологии
  • Основы геодезии
  • Минералогия и минералы
  • Маркшейдерское дело

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например, точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

i{\displaystyle \mathbf {i} }, j{\displaystyle \mathbf {j} } и k{\displaystyle \mathbf {k} }

или

ex{\displaystyle \mathbf {e} _{x}}, ey{\displaystyle \mathbf {e} _{y}} и ez{\displaystyle \mathbf {e} _{z}}.

Могут также применяться обозначения со стрелками (i→{\displaystyle {\vec {i}}}, j→{\displaystyle {\vec {j}}} и k→{\displaystyle {\vec {k}}} или e→x{\displaystyle {\vec {e}}_{x}}, e→y{\displaystyle {\vec {e}}_{y}} и e→z{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

  • i,j=k;{\displaystyle =\mathbf {k} ;}
  • j,k=i;{\displaystyle =\mathbf {i} ;}
  • k,i=j.{\displaystyle =\mathbf {j} .}

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

e1,e2,e3,…en,{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

a=a1e1+a2e2+a3e3+⋯+anen{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}}

или

a=∑i=1naiei,{\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},}

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

ai=a⋅ei.{\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.}

Изготовление шкалы для определения прямоугольных координат точки на топографической карте.

Подобные шкалы, отдельно или с компасом, выпускаются в США, но для нас они бесполезны, так как наши карты выпускаются в других масштабах. Но такую шкалу можно сделать самостоятельно. Для этого ее надо распечатать на прозрачной пленке на принтере и приклеить к планшету компаса. Предлагаемый вариант сделан для компаса серии «Азимут», это жидкостный компас с прямоугольным планшетом, в середине которого расположена большая лупа. Шкала приклеивается скотчем с обратной стороны планшета строго под лупой. Приклеивать надо аккуратно по всему периметру, чтобы туда не проникалавода. Предпочтительно использовать широкий прозрачный скотч, перекрывающий всю поверхность, в этом случае лучше распечатать шкалу в зеркальном отображении.

Гость форума
От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.